La matemática donde nunca lo pensaste

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Lo que la mayoría percibimos al contemplar esta imagen es “caos”, parece no haber un orden predeterminado en ella, quizá a algunos nos recuerda al universo o incluso nos provoque nostalgia. Lo cierto es que detrás de esta imagen se encuentran por muchos las odiadas matemáticas. ¿No me crees?, la imagen que estás viendo recibe el nombre de fractal. Un fractal es un objeto geométrico en el que se repite el mismo patrón a diferentes escalas y con diferente orientación.

La expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1989); anteriormente matemáticos como Cantor y Peano, definen objetos que pueden catalogarse de esta forma pero que sin embargo no son reconocidos como tal.

“Los fractales constituyen un sistema descriptivo y una nueva metodología para una investigación que acaba de empezar. En las próximas décadas los fractales sin duda revelarán más acerca del caos oculto dentro de la regularidad y acerca de los modos en que la estabilidad y el orden pueden nacer de la turbulencia y el azar subyacentes” (Briggs J. Y Peat F.D.:2000)

Así que, en la actualidad la llamada geometría fractal ha llegado a obtener un gran número de adeptos, esto gracias principalmente a las aplicaciones de esta rama de las matemáticas; quizá sus usos más conocidos sean en cardiología donde se usa para comprender mejor el estado del corazón en pacientes con enfermedad oclusiva severa y en geología donde se utiliza para comprender las redes de fracturas de los macizos rocosos y las microestructuras de los minerales.

Pero bueno, hasta el momento no se ha hablado de matemáticas, para iniciar con ello, debo mencionar la “teoría de la iteración de funciones racionales de Julia-Fatou”, ya que es usando esta teoría que se construyen la mayoría de los fractales, la cual si bien fue abandonada durante mucho tiempo gracias al uso de los ordenadores como herramientas para procesar imágenes fue retomada, no pretendo explicar esta teoría de manera detallada ya que creo esto corresponde a un documento más especializado, en lugar de eso hablare sobre como puedes construir un fractal (si tomamos como definición de fractal la de un objeto que se repite a diferentes escalas, tendremos que la estrategia más sencilla para construir un fractal, es tomar una figura y reproducirla en diferentes escalas).

Los ejemplos más populares de fractales son el “conjunto de Mandelbrot” y el “Triángulo de Sierpinski”, ambos conjuntos son sencillos de construir. Para construir el triángulo de Sierpinski primeramente dibujamos un triángulo grande, luego colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas y finalmente repetimos el último paso tanto como queramos; existe una variante conocida como la “Pirámide de Sierpinski” la cual se construye a partir de pequeñas pirámides de papel.

Construcción del triangulo de Sierpinsky

Construir el “Conjunto de Mandelbrot” es un poco más complejo que dibujar sobre papel; este conjunto fue propuesto durante la década de los setentas y si bien contábamos con su definición matemática, no se tuvo una representación gráfica de este hasta una década más tarde gracias a los ordenadores. Este conjunto se define de la siguiente forma: Sea “c” un numero cualquiera que define la siguiente sucesión z0=0 como termino inicial y zn+1=z2i+c como la relación de recurrencia; así tenemos que para diferentes valores de “n” existen diferentes sucesiones.

Ejemplo de una posible sucesión

Ahora si la sucesión es acotada esta pertenece al conjunto de Mandelbrot, de lo contrario es excluida; luego si incluimos los números complejos tenemos la representación más conocida del Conjunto de Mandelbrot.

Representacion grafica de conjunto de Mandelbrot

Se puede decir que los fractales son un concepto viejo y nuevo a la vez, pueden encontrarse en cualquier parte, en la naturaleza, como obra de arte o quizá tú tengas uno como wallpaper, lo cierto es que detrás hay conceptos matemáticos.
Los copos de nieve son un ejemplo de fractales en la naturaleza

Así que ya lo sabes, la siguiente vez que veas imágenes como esta piensa que las culpables de su belleza son las matemáticas.

 

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Recientemente termino la Maestría en Economía por la Universidad de Guadalajara; se considera aficionada a la fotografía y amante de los libros. En otros tiempos participo en concursos de conocimientos, gusta de programar y ha asistido a algunos cursos sobre programación en distintos lenguajes.